Proêmio aos Elementos de Euclides
por Santo Alberto Magno
Tradução por Geovane Campanher
8/23/20266 min read
Assim como a filosofia, segundo Aristóteles no sexto livro da Filosofia Primeira, divide-se em três partes – a saber, aquela que considera a forma concebida juntamente com a matéria, que se chama física; aquela que considera a forma que está na matéria móvel (materia mobilis), mas que, segundo a razão definitória (ratio diffinitiva), não é concebida juntamente com ela, que se denomina matemática; e, por fim, aquela que considera as realidades divinas separadas, que nem estão na matéria móvel (materia mobilis) nem são concebidas juntamente com ela segundo a razão definitória –, assim também a mente humana (mens hominis), perfectível por essas três ciências, aperfeiçoa-se triplicemente mediante essas três partes da especulação. A primeira aperfeiçoa a mente voltada para os sentidos; a segunda adorna a mente voltada para a imaginação; ao passo que a terceira torna a mente humana, de certo modo, divina e a assimila à inteligência (intelligentia), na medida em que nela é infundido algo da luz das inteligências, as quais estão unidas primeiramente ao Princípio.
O grande Ptolomeu, contudo, testemunha, nas disciplinas, que a primeira dessas partes não pode conduzir o homem à certeza, em razão da mobilidade e variedade de seu sujeito. Disso também é sinal a diversidade de opiniões entre aqueles que dela tratam, diversidade que até hoje não pôde ser reconduzida à concórdia.
A terceira, porém, está tão acima de nós que o próprio Príncipe dos filósofos afirma que a disposição de nosso intelecto em relação a ela é semelhante à dos olhos do morcego diante da luz do sol.
A [ciência] média, portanto, reivindicará verdadeiramente o nome de ciência, porque é proporcionada a nós e abstraída, segundo a razão definitória, da variedade da matéria sensível. Por isso, merece um cuidado maior por parte de todo aquele que procura alcançar a verdade da ciência.
Os pitagóricos, porém, ensinaram que também essa ciência se divide genericamente em duas partes: aquela que trata da quantidade discreta e aquela que trata da quantidade contínua. E, novamente, a ciência da quantidade discreta é dupla: enquanto a aritmética reivindica para si o discreto absoluto (discretum absolutum) com suas propriedades, a música reivindica o [discreto] contraído (contractum) e referido à melodia (melos). De modo semelhante, também a ciência do contínuo se duplica: enquanto a geometria considera os esquemas ou figuras do contínuo em repouso, a astrologia determina aqueles esquemas que, a partir das distâncias, prevenções, conjunções, trígonos, quadrados e recessos sextis (sextiles recessus), são considerados no quanto móvel (mobile quantum) mediante a consideração do movimento em um ou mais círculos. Por isso, após os tratados de aritmética e de música, ordena-se o empreendimento geométrico.
A geometria recebe esse nome a partir da medida da terra, seja porque, no Egito, onde as ciências matemáticas surgiram pela primeira vez, a terra e os campos eram divididos segundo razão geométrica, seja porque o homem recebe sua porção da terra de modo diverso dos demais animais. Com efeito, o gênero humano, como afirma Aristóteles, faz uso da arte e da razão e, por isso, reconduz todas as suas ações à norma da razão. Os demais animais, porém, pouco diferem das bestas, exceto quanto à figura corporal. Assim, Aristipo, filósofo socrático, ao alcançar, após um naufrágio, a costa dos ródios e, ao ver esquemas geométricos desenhados no porto, enquanto todos temiam haver bárbaros na ilha, exclamou que seus companheiros deveriam conservar boa esperança, pois contemplara vestígios de homens. E o desfecho confirmou suas palavras: os habitantes, ao conversarem com o filósofo e honrarem todos os náufragos por causa de um só, proveram-nos liberalissimamente de vestes, navios e despesas.
Ora, como foi dito, a geometria trata da quantidade imóvel (quantitas immobilis); por isso, é necessário investigar qual seja o princípio dessa quantidade e quais espécies dela se originam. Assim, como transmite Al-Fārābī em seu comentário aos teoremas de Euclides, existem apenas três espécies primeiras de quantidade contínua: a linha, a superfície e o corpo. Com efeito, se alguém imaginar o movimento do ponto segundo o reto (secundum rectum) – movimento este que, segundo a forma, é o único simples –, não produzirá senão o comprimento (longitudo) sem largura (latitudo), isto é, a linha. Se, porém, o ponto for movido circularmente, produzirá a circunferência, que é uma linha circular, como se vê no pé móvel do compasso. Contudo, esse movimento envolve duas formas, a do convexo e a do côncavo, razão pela qual não é primeiro; e, por conseguinte, tampouco a linha circular é a primeira das linhas, mas sim a reta, cuja forma é simples. Portanto, o ponto, em seu primeiro movimento, constitui apenas uma única espécie de quantidade. Se, porém, a linha for posta em movimento, ela seguirá ou a forma do ponto ou a forma do comprimento. No primeiro caso, seu movimento não diferirá do movimento do ponto e, assim, produzirá apenas o prolongamento (prolongatio) da própria linha. No segundo caso, porém, ao mover-se em si mesma ou em uma de suas partes, constituirá necessariamente a superfície, que é a segunda espécie da quantidade contínua. Do mesmo modo, se imaginarmos a superfície em movimento, ela seguirá ou a forma da linha, isto é, o comprimento, ou sua forma própria, que é a largura. No primeiro caso, aumentará a si mesma; no segundo, porém, produzirá o corpo, pois é necessário que a largura, mediante o movimento, seja conduzida à profundidade (profunditas). Ao corpo, entretanto, como demonstra Aristóteles no primeiro livro de De cælo et mundo, é impossível acrescentar uma quarta dimensão, seja qual for o movimento concebido. E a razão disso é que não se pode conceber que mais de três linhas se intersectem segundo ângulos retos.
Se, porém, alguém objetar que existem outras espécies de quantidade contínua, como o lugar, o movimento e o tempo, basta responder, por ora, que o lugar é investigado em função do movimento e que, por isso, falando matematicamente, o lugar é superfície. O movimento, por sua vez, não é contínuo senão em razão do espaço sobre o qual ocorre, e o tempo recebe sua continuidade do movimento; assim, o ser contínuo (esse continuum) tanto do movimento quanto do tempo deriva do espaço, enquanto o momento (momentum) e o agora (nunc), indivisíveis, procedem do indivisível do espaço, isto é, do ponto. Por essa razão, tais coisas não são, de modo algum, espécies primeiras e verdadeiras de quantidade contínua.
Deve-se observar ainda que a quantidade contínua é aquilo que mais se aproxima da matéria. Por isso, assim como a potência material, mais distante do ato segundo a essência, encontra-se naquilo que lhe é mais próximo – como o simples no misto, o misto no complexionado (complexionatum) e o complexionado no heterogêneo –, assim também a linha está na superfície, e tanto a superfície quanto a linha estão no corpo. Disso se conclui que o ponto é princípio simpliciter do contínuo, ao passo que a linha é principiada em relação ao ponto, mas princípio em relação à superfície. O corpo, porém, existe apenas como principiado. A razão disso é que todo princípio é simples e indivisível segundo a divisão de seu principiado. Assim, o ponto, por ser absolutamente indivisível, é princípio simples do contínuo. A linha, porém, é princípio segundo aquilo em que é indivisível – isto é, segundo a largura –, e principiado segundo aquilo em que é divisível, a saber, segundo o comprimento. De modo semelhante se comporta a superfície em relação à linha e ao corpo.
Além disso, assim como afirmamos que a superfície, em seu gênero, produz o corpo mediante o movimento, assim também, considerada segundo a espécie, ela produz espécies regulares (species regulares) de corpos, acerca das quais unicamente se ocupa a intenção do geômetra; pois das figuras irregulares, como as figuras dos animais, não se pode obter razão certa. Com efeito, se um triângulo regular for imaginado fixo em um ângulo e elevado gradualmente pelo outro mediante movimento circular, até que o lado intermediário entre o ângulo imóvel e o móvel se eleve diametralmente sobre o ponto imóvel, produzir-se-á necessariamente uma pirâmide, acerca da qual existem numerosas demonstrações geométricas. Se, porém, a figura do círculo for elevada de maneira uniforme e contínua, produzirá uma coluna; e, se for conduzida circularmente segundo o côncavo, produzir-se-á uma esfera, acerca das quais o estudo dos geômetras descobriu coisas admiráveis. E porque o princípio de todas essas coisas é o ponto, tomemos dele o exórdio (exordium) das definições, que constituem certos princípios das demonstrações.
